Question

13．函数f（x）=-x²+3x+a，g（x）=2^x-x²，若f（g（x））≥0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-e，+∞）
• B． [-ln2，+∞）
• C． [-2，+∞）
• D． （-$\frac{1}{2}$，0]

Answer 1

分析 确定g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x₀）]]，（g（x₀）=${2}^{{x}_{0}}-{{x}_{0}}^{2}$，再分离参数求最大值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2^xln2-2x
设g′（x₀）=0，则函数在[0，x₀]上单调递增，在[x₀，1]上单调递减，
g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x₀）]]，（g（x₀）=${2}^{{x}_{0}}-{{x}_{0}}^{2}$
∴f（t）≥0，即a≥t²-3t，
∴a≥-2．
故选：C．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．