Question

8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$a=2，cosC=-\frac{1}{4}$，3sinA=2sinB
（1）求边b和边c；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）△ABC中，∵3sinA=2sinB，
∴由正弦定理可得：3a=2b，
∵a=2，
∴可解得b=3，
又∵cosC=-$\frac{1}{4}$，
∴由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=4+9-2×2×3×（-$\frac{1}{4}$）=16，
∴解得：c=4．
（2）∵cosC=-$\frac{1}{4}$，可得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×3×$$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．