Question

17．有下列叙述：
①若$\overrightarrow{a}$=（1，k），$\overrightarrow{b}$=（-2，6），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则k=-3；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}；
③已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，若a，b是任意的实数，都有f（a•b）=f（a）+f（b），则y=f（x）的偶函数；
④函数y=sin（x-$\frac{π}{2}$）在[0，π]上是减函数；
⑤已知A和B是单位圆O上的两点，∠AOB=$\frac{2}{3}$π，点C在劣弧$\widehat{AB}$上，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中，x，y∈R，则x+y的最大值是2；
以上叙述正确的序号是①③⑤．

Answer 1

分析 ①根据向量平行的坐标公式进行求解判断．
②根据角的终边的性质进行判断．
③根据抽象函数的定义和奇偶性的定义进行判断．
④根据三角函数的性质进行判断．
⑤根据平面向量的基本定理进行判断．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}$=（1，k），$\overrightarrow{b}$=（-2，6），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则-2k-6=0得k=-3，故①正确；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}，故②错误；
③令a=2，b=1，则f（2）=f（2）+f（1），解得f（1）=0，
令a=-1，b=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=0，则f（-1）=0，
令b=-1，代入上式，
∴f（-a）=f（-1）+f（a）=f（a），
∴f（x）是偶函数．故③正确；
④函数y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx在[0，π]上是增函数，故④错误；
⑤由已知条件知：${\overrightarrow{OC}}^{2}=1=（x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}）^{2}$=${x}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+2xy\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+{y}^{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}$=x²-xy+y²=（x+y）²-3xy；
∴（x+y）²-1=3xy，根据向量加法的平行四边形法则，容易判断出x，y＞0，
∴$x+y≥2\sqrt{xy}$，∴$xy≤\frac{（x+y）^{2}}{4}$；
∴$（x+y）^{2}-1≤\frac{3}{4}（x+y）^{2}$，∴（x+y）²≤4，∴x+y≤2，即x+y的最大值为2．故⑤正确，
故答案为：①③⑤

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及平面向量的基本内容以及三角函数，函数奇偶性的判断，涉及的知识点较多，综合性较强．