Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-2．（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若x_n=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$，设数列{x_n}的前n项积为T_n，求证：
①（1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）＜（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）²（n∈N^*）；
②T_n≤2（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）${\;}^{{2}^{n}-2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）由S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-2，（n≥2），可得a_n-a_n-1=2^n-2，再利用“累加求和”与等比数列的前n项和公式即可得出；
（2）①把（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）²展开即可证明；
②由①可得：1+1＜（1+$\frac{1}{2}$）²，1+$\frac{1}{2}$＜（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）²，…，（1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）＜（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）²（n∈N^*），再利用不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-2，（n≥2），
∴a_n-a_n-1=2^n-2，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-2+2^n-3+…+1+1
=$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$+1=2^n-1；
（2）证明：①（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）²=1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{2n}}$＞1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴（1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）＜（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）²（n∈N^*）；
②由①可得：1+1＜（1+$\frac{1}{2}$）²，1+$\frac{1}{2}$＜（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）²，…，（1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）＜（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）²（n∈N^*）；
∴T_n≤（1+$\frac{1}{2}$）²•（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）²•…•（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）²（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
≤2•$（1+\frac{1}{{2}^{2}}）^{{2}^{2}}$•…•（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）²
≤2•（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）${\;}^{{2}^{n}-2}$（n∈N^*）．

点评 本题考查了递推关系的应用、“累加求和”与等比数列的前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．