Question

如图，点A、B是单位圆O上的两点，点C是圆O与x轴的正半轴的交点，将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转

π

3

到OB．
（1）若点A的坐标为（

3

5

，

4

5

），求

1+sin2α

1+cos2α

的值；
（2）用α表示|BC|，并求|BC|的取值范围．

Answer 1

考点：任意角的三角函数的定义,同角三角函数基本关系的运用,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得，cosα 和sinα 的值，再利用二倍角公式求得sin2α 和 cos2α的值，可得

1+sin2α

1+cos2α

的值．
（2）由题意可得，|OC|=|OB|=1，∠COB=α+

π

3

，由余弦定理可得|BC|² 的解析式．根据α∈（0，

π

2

），利用余弦函数的定义域有和值域求得|BC|的范围．

解答： 解：（1）由已知可得，cosα=

3

5

，sinα=

4

5

．
∴sin2α=2sinαcosα=

24

25

，cos2α=2cos²α-1=-

7

25

，

1+sin2α

1+cos2α

=

1+ 24 25

1+(- 7 25 )

=

49

18

．
（2）由题意可得，|OC|=|OB|=1，∠COB=α+

π

3

，由余弦定理可得
|BC|²=|OC|²+|OB|²-2|OB||OC|cos∠COB=1+1-2cos（α+

π

3

）=2-2cos（α+

π

3

）．
∵α∈（0，

π

2

），∴α+

π

3

∈（

π

3

，

5π

6

），∴cos（α+

π

3

）∈（-

3

2

，

1

2

），
∴|BC|²∈（1，2+

3

），
∴|BC|∈（1，

6 + 2

2

）．

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、余弦定理、二倍角公式、余弦函数的定义域和值域，属于中档题．