Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，侧面PAD⊥平面AC，在△PAD中，E为AD中点，PA=PD．
（I）证明：PA⊥BE；
（II）若AB=

2

PA，求二面角A-PB-D的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由底面ABCD为菱形，且E为AD中点，∠DAB=60°，令AB=2AE=2a，得BE=

3

a，所以BE⊥AD，由此能证明BE⊥PA．
（Ⅱ）过A作AH⊥PB于H，连接DH，由PA=PD，AB=DB，PB=PB，知△PAB≌△PDB，∠PAB=∠PDB，由AB=BD，BH=BH，知∠AHB=∠DHB=90°，所以∠AHD为二面角的平面角，由此能求出二面角A-PB-D的正弦值．

解答：（I）证明：∵底面ABCD为菱形，且E为AD中点，∠DAB=60°，
令AB=2AE=2a，
由余弦定理，得BE²=4a²+a²-2×2a×a×cos60°=3a²，∴BE=

3

a，
∴AB²=BE²+AE²，∴BE⊥AD，
∵侧面PAD⊥平面AC，BE?平面AC，∴BE⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，
∴BE⊥PA．
（Ⅱ）解：过A作AH⊥PB于H，连接DH，
∵PA=PD，AB=DB，PB=PB，∴△PAB≌△PDB，∴∠PAB=∠PDB，
∵AB=BD，BH=BH，∴∠AHB=∠DHB=90°，即DH⊥PB，
∴∠AHD为二面角的平面角，
又∵PB=

PE2+BE2

=2a，
∴BH=

(2a)2-( 2 2 a)2

=

14

2

a，
∴S_△APB=

1

2

AP•BM=

1

2

BP•AH，即

1

2

2

a×

14

2

a=

1

2

×2a•AH，
∴AH=DH=

7

2

a，
∴△AHD中，cos∠AHD=

7 4 a2+ 7 4 a2-4a2

2× 7 2 a× 7 2 a

=

1

7

，
∴sin∠AHD=

4 3

7

．
故二面角A-PB-D的正弦值为

4 3

7

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，合理地化空间问题为平面问题．