Question

已知函数f(x)=log_a(a^x-1)(a＞1).

(1)求f(x)的定义域;

(2)当x为何值时,函数值大于1;

(3)讨论f(x)的单调性;

(4)解方程f(2x)=f^-1(x).

Answer 1

解：(1)∵a＞1,由a^x-1＞0,得x＞0.

∴f(x)的定义域为(0,+∞).

(2)由log_a(a^x-1)＞1,

故当a＞1时,x＞log_a(a+1),

即当x＞log_a(a+1)时,f(x)＞1.

(3)当a＞1时,f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.

(4)由y=log_a(a^x-1)(a＞1)得其反函数为f^-1(x)=log_a(a^x+1).

∴log_a(a^x+1)=log_a(a^2x-1).

∵对数函数在整个定义域上是单调的,

∴有a^x+1=a^2x-1.   ∴(a^x-2)(a^x+1)=0.

∴a^x=2,a^x=-1(舍去).

∴x=log_a2.