Question

设函数（,b∈Z），曲线在点（2，）处的切线方程为=3.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线=上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

Answer 1

（1）f(x)=x+（2）2.

试题分析：(1)解  f′(x)=a-,于是解得或
因为a,b∈Z,故f(x)=x+.（4分）
(2)证明 在曲线上任取一点（x₀,x₀+）,
由f′(x₀)=1-知,过此点的切线方程为y-=(x-x₀).（6分）
令x=1,得y=,切线与直线x=1的交点为;
令y=x,得y=2x₀-1,切线与直线y=x的交点为(2x₀-1,2x₀-1);
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为
|2x₀-1-1|=|2x₀-2|=2.所以,所围三角形的面积为定值2.（10分）
点评：主要是考查了导数的几何意义求解切线方程，以及三角形的面积，属于基础题。