Question

（本小题满分14分）
如图，已知椭圆，是椭圆的顶点，若椭圆的离心率，且过点.

(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)作直线，使得，且与椭圆相交于两点（异于椭圆的顶点），设直线和直线的倾斜角分别是，求证：.

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)可设直线的方程为，设，由得，
，故

试题分析：（Ⅰ）由已知得： ，椭圆C的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，

故可设直线的方程为，设，
由得
，即,
异于椭圆C的顶点，,
，

，

 
 
又，∴ ,故.
点评：直线与圆锥曲线相交，联立方程利用韦达定理是常用的思路，本题所证明的角的关系转化为直线斜率关系