Question

4．如图，P∉平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°，求证：平面ABC⊥平面PBC．

Answer 1

分析 要证明面面垂直，只要在其平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可．显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可．

解答 证明：取BC中点D 连结AD、PD
∵PA=PB；∠APB=60°
∴△PAB为正三角形            
同理△PAC为正三角形
设PA=a
在Rt△BPC中，PB=PC=a，BC=$\sqrt{2}$a
∴PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a
在△ABC中，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a
∵AD²+PD²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²=a²=AP²
∴△APD为直角三角形
即AD⊥DP
又∵AD⊥BC
∴AD⊥平面PBC
∴平面ABC⊥平面PBC．

点评 本题考查直线与平面、平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，证明AD⊥DP是关键．