Question

9．若在区间（0，m]上恰有一个实数a使函数f（x）=x⁴-ax²-1有整数零点，则实数m的取值范围是[$\frac{15}{4}$，$\frac{80}{9}$）．

Answer 1

分析 化简可得a=$\frac{{x}^{4}-1}{{x}^{2}}$=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$，从而可判断其在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；从而求实数m的取值范围．

解答 解：令f（x）=x⁴-ax²-1=0得，
a=$\frac{{x}^{4}-1}{{x}^{2}}$=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$；
易知a=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
且当x²=1时，a=0，当x²=4时，a=$\frac{15}{4}$，当x²=9时，a=$\frac{80}{9}$；
又∵在区间（0，m]上恰有一个实数a，使函数f（x）=x⁴-ax²-1有整数零点，
∴实数m的取值范围是[$\frac{15}{4}$，$\frac{80}{9}$）；
故答案为：[$\frac{15}{4}$，$\frac{80}{9}$）．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，属于基础题．