Question

5．已知${F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（-\sqrt{3}，0）$为椭圆C的左右焦点，点$（-\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在椭圆C上
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₂的直线交椭圆C与A、B两点，圆M为△ABF₁的内切圆，求圆M的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上，c=$\sqrt{3}$，a²=3+b²，点$（-\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在椭圆C上，代入椭圆方程即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）过F₂的直线斜率不为0，设l：x=my+$\sqrt{3}$，并代入椭圆方程，由韦达定理求得y₁+y₂和y₁•y₂，利用弦长公式求得丨AB丨，点到直线的距离公式求得F₁到l的距离，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质求得S_△ABF1最大值，即可求得切圆M的面积最大值．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由c=$\sqrt{3}$，a²=3+b²，又点$（-\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在椭圆C上，
$\frac{3}{3+{b}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{{b}^{2}}=1$，即b²=1，a²=1，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）过F₂的直线斜率不为0，设l：x=my+$\sqrt{3}$，与A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），将直线代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得：
（m²+4）y²+2$\sqrt{3}$my-1=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=$\frac{-1}{{m}^{2}+4}$，
丨AB丨=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（\frac{2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}）^{2}+\frac{4}{{m}^{2}+4}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）×\frac{16{m}^{2}+16}{（{m}^{2}+4）^{2}}}$=$\frac{4（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+4}$，
点F₁（-$\sqrt{3}$，0）到l：x=my+$\sqrt{3}$，的距离为d=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
S_△ABF1=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$×$\frac{4（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+4}$=$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{1+{m}^{2}}}{{m}^{2}+4}$=4$\sqrt{3}$$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（{m}^{2}+4）^{2}}}$，
=4$\sqrt{3}$$\sqrt{\frac{1}{（{m}^{2}+1）+\frac{9}{{m}^{2}+1}+6}}$≤4$\sqrt{3}$×$\sqrt{\frac{1}{12}}$=2，
当且仅当m²+1=$\frac{9}{{m}^{2}+1}$，即m=±$\sqrt{2}$时取等，
设内切圆M的半径为r，则S_△ABF1=$\frac{1}{2}$×r_max×4a=4r=2，即r_max=$\frac{1}{2}$，
即内切圆M的面积最大值为：S_圆Mmax=πr²=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及性质，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查韦达定理的运用、弦长公式、点到直线的距离公式，考查计算能力，是中档题．