【题目】已知抛物线x2=2py(p>0)的顶点到焦点的距离为1,过点P(0,p)作直线与抛物线交于A(x1 , y1),
B(x2 , y2)两点,其中x1>x2 .
(1)若直线AB的斜率为 ,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程;
(2)若 =λ ,是否存在异于点P的点Q,使得对任意λ,都有 ⊥( ﹣λ ),若存在,求Q点坐标;不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:由已知得p=2,直线和y轴交于点(0,2),
则直线AB的方程为y﹣2= x,即x﹣2y+4=0,
由 得A,B的坐标分别为(4,4),(﹣2,1),
又由x2=4y,得到y= x2,
∴y′= x,
∴抛物线抛物线在点A处切线的斜率为2,
设圆C的方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2,
则 ,
解得a=﹣1,b= ,r2= ,
∴圆的方程为(x+1)2+(y﹣ )2= ,
即为x2+y2+2x﹣13x+12=0
(2)解:依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入抛物线方程x2=4y得x2﹣4kx﹣8=0,
∴x1x2=﹣8,①,
由已知 =λ 得﹣x1=λx2,
若k=0,这时λ=1,要使 ⊥( ﹣λ ),Q点必在y轴上,
设点Q的坐标是(0,m),从而 =(0,2﹣m),
﹣λ =(x1,y1﹣m)﹣λ(x2,y2﹣m)=(x1﹣λx2,y1﹣m﹣λ(y2﹣m))
∴ ( ﹣λ )=(2﹣m)[y1﹣λy2﹣m(1﹣λ)]=0,
∴y1﹣λy2﹣m(1﹣λ)=0,
即 + ﹣m(1+ )=0,
即 (x1+x2)(x1x2﹣4m)=0,将①代入得m=﹣2,
∴存在点Q(0,﹣2)使得 ⊥( ﹣λ )
【解析】(1)先求出p的值,再求出直线方程,求出A,B的坐标,根据导数的几何意义求出切线的斜率,设圆C的方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2 , 利用待定系数法解得即可,(2)依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入抛物线方程x2=4y,根据未达定理得到x1x2=﹣8,若k=0,这时λ=1,设点Q的坐标是(0,m),利用向量的坐标运算和向量的垂直的条件得到即 (x1+x2)(x1x2﹣4m)=0,代入计算即可求出m的值.
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【题目】如图所示的多面体是由一个以四边形ABCD为地面的直四棱柱被平面A1B1C1D1所截面成,若AD=DC=2,AB=BC=2 ,∠DAB=∠BCD=90°,且AA1=CC1= ;
(1)求二面角D1﹣A1B﹣A的大小;
(2)求此多面体的体积.
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【题目】设O是坐标原点,椭圆C:x2+3y2=6的左右焦点分别为F1 , F2 , 且P,Q是椭圆C上不同的两点,
(1)若直线PQ过椭圆C的右焦点F2 , 且倾斜角为30°,求证:|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列;
(2)若P,Q两点使得直线OP,PQ,QO的斜率均存在.且成等比数列.求直线PQ的斜率.
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【题目】为了研究钟表与三角函数的关系,以9点与3点所在直线为x轴,以6点与12点为y轴,设秒针针尖指向位置P(x,y),若初始位置为P0( , ),秒针从P0(注此时t=0)开始沿顺时针方向走动,则点P的纵坐标y与时间t(秒)的函数关系为( )
A.y=sin( t+ )
B.y=sin( t﹣ )
C.y=sin(﹣ t+ )
D.y=sin(﹣ t﹣ )
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【题目】如图,正方形ABCD边长为2,以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F,连结CF并延长交AB于点E.
(1)求证:AE=EB;
(2)求EFFC的值.
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【题目】2017年,在国家创新驱动战略下,北斗系统作为一项国家高科技工程,一个开放型的创新平台,1400多个北斗基站遍布全国,上万台套设备组成星地“一张网”,国内定位精度全部达到亚米级,部分地区达到分米级,最高精度甚至可以达到厘米或毫米级。最近北斗三号工程耗资9万元建成一小型设备,已知这台设备从启用的第一天起连续使用,第天的维修保养费为元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了多少天,平均每天耗资多少钱?
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【题目】如图在长为10千米的河流的一侧有一条观光带,观光带的前一部分为曲线段,设曲线段为函数(单位:千米)的图象,且图象的最高点为;观光带的后一部分为线段.
(1)求函数为曲线段的函数的解析式;
(2)若计划在河流和观光带之间新建一个如图所示的矩形绿化带,绿化带仅由线段构成,其中点在线段上.当长为多少时,绿化带的总长度最长?
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【题目】函数f(x)=|x|﹣2|x+3|.
(1)解不等式f(x)≥2;
(2)若存在x∈R使不等式f(x)﹣|3t﹣2|≥0成立,求参数t的取值范围.
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