Question

【题目】设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 且P，Q是椭圆C上不同的两点，
（1）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2 ， 且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；
（2）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）证明：x2+3y2=6即为 + =1，

即有a= ，b= ，c= =2，

由直线PQ过椭圆C的右焦点F2（2，0），且倾斜角为30°，

可得直线PQ的方程为y= （x﹣2），

代入椭圆方程可得，x2﹣2x﹣1=0，

即有x1+x2=2，x1x2=﹣1，

由弦长公式可得|PQ|=

= = ，

由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4 ，

可得|F1P|+|QF1|=4 ﹣ = =2|PQ|，

则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；

（2）解：设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+3y2=6，

消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣2）=0，

则△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣2）

=12（6k2﹣m2+2）＞0，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，

∵直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，

∴ = =k2，

即km（x1+x2）+m2=0，即有﹣ +m2=0，

由于m≠0，故k2= ，

∴直线PQ的斜率k为±

【解析】（1）求得椭圆的a，b，c，设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得|PQ|，再由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a，由等差数列的中项的性质，可得结论；（2）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由等比数列的中项的性质，结合直线的斜率公式，化简整理，解方程即可得到直线PQ的斜率．