Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+2t）≥4f（x）恒成立，则实数t的取值范围是

[2，+∞）

．

Answer 1

分析：由当x≥0时，f（x）=x²，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=-x²，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足4f（x）=f（2x），再根据不等式f（x+2t）≥4f（x）在[t，t+2]恒成立，可得x+2t≥2x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．

解答：解：当x≥0时，f（x）=x²
∵函数是奇函数∴当x＜0时，f（x）=-x²
∴f（x）=

x2(x≥0) -x2(x＜0).

，
∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足4f（x）=f（2x），
∵不等式f（x+2t）≥4f（x）在[t，t+2]恒成立，
∴x+2t≥2x在[t，t+2]恒成立，即：t≥

1

2

x在[t，t+2]恒成立，
∴t≥

1

2

（t+2），∴t≥2，实数t的取值范围是[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．

点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．