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已知正△的边长为4,边上的高,分别是边的中点,现将△沿翻折成直二面角,如图.

(I)证明:∥平面
(II)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使?证明你的结论.
解:法一:(I)证明:如图:在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,

得EF//AB,又AB平面DEF,EF平面DEF.   
∴AB∥平面DEF.  ………………………………………………3分
(II)∵AD⊥CD,BD⊥CD  
∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
∴AD⊥BD  ∴AD⊥平面BCD
取CD的中点M,这时EM∥AD  ∴EM⊥平面BCD
过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角,   …………………………………6分
在Rt△EMN中,EM=1,MN=
∴tan∠MNE=,cos∠MNE=.  ……………………………………8分
(Ⅲ)在线段BC上存在点P,使AP⊥DE    ……………………………9分
证明:在线段BC上取点P,使,过P作PQ⊥CD与点Q,
∴PQ⊥平面ACD   ∵在等边△ADE中,∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE.          …………………………………………12分
法二:(Ⅱ)以点D为坐标原点,直线DB、DC为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,2)B(2,0,0)C(0,
平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为


所以二面角E—DF—C的余弦值为.     …………………………8分
(Ⅲ)在平面坐标系xDy中,直线BC的方程为


所以在线段BC上存在点P,使AP⊥DE.      …………………12分   
练习册系列答案
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