解:法一:(I)证明:如图:在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,
得EF//AB,又AB
平面DEF,EF
平面DEF.
∴AB∥平面DEF. ………………………………………………3分
(II)∵AD⊥CD,BD⊥CD
∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD
取CD的中点M,这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD
过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角, …………………………………6分
在Rt△EMN中,EM=1,MN=
∴tan∠MNE=
,cos∠MNE=
. ……………………………………8分
(Ⅲ)在线段BC上存在点P,使AP⊥DE ……………………………9分
证明:在线段BC上取点P,使
,过P作PQ⊥CD与点Q,
∴PQ⊥平面ACD ∵
在等边△ADE中,∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE. …………………………………………12分
法二:(Ⅱ)以点D为坐标原点,直线DB、DC为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,2)B(2,0,0)C(0,
,
平面CDF的法向量为
设平面EDF的法向量为
则
即
所以二面角E—DF—C的余弦值为
. …………………………8分
(Ⅲ)在平面坐标系xDy中,直线BC的方程为
设
所以在线段BC上存在点P,使AP⊥DE. …………………12分