Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点F₂到直线x+y+5=0的距离为3$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F₂，且与抛物线y²=4x交于A₁，A₂两点，与椭圆C交于B₁，B₂两点，当以B₁B₂为直径的圆经过椭圆C的左焦点F₁时，求以A₁A₂为直径的圆的标准方程．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和点到直线的距离公式，计算可得c=1，a=2，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（2）当直线l与x轴垂直时，B₁（1，$\frac{3}{2}$），B₂（1，-$\frac{3}{2}$），又F₁（-1，0），不满足条件；当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A₁A₂|的长，可得所求圆的半径，运用中点坐标公式可得圆心，进而得到所求圆的方程．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
右焦点F₂（c，0）到直线x+y+5=0的距离为3$\sqrt{2}$，
可得$\frac{|c+5|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，解得c=1，
即有a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）当直线l与x轴垂直时，B₁（1，$\frac{3}{2}$），B₂（1，-$\frac{3}{2}$），又F₁（-1，0），
此时$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}$≠0，所以以B₁B₂为直径的圆不经过F₁．不满足条件；
当直线l不与x轴垂直时，设L：y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，即（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．
设B₁（x₁，y₁），B₂（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
因为以B₁B₂为直径的圆经过F₁，所以$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}$=0，又F₁（-1，0），
所以（-1-x₁）（-1-x₂）+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²=0，
代入韦达定理，解得k²=$\frac{9}{7}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
因为直线l与抛物线有两个交点，所以k≠0，
设A₁（x₃，y₃），A₂（x₄，y₄），则x₃+x₄=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₃x₄=1，
所以|A₁A₂|=x₃+x₄+p=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$+2=$\frac{64}{9}$，
即有$\frac{1}{2}$|A₁A₂|=$\frac{32}{9}$，
A₁A₂的中点为（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），即为（$\frac{23}{9}$，±$\frac{2\sqrt{7}}{3}$），
可得以A₁A₂为直径的圆的标准方程为（x-$\frac{23}{9}$）²+（y+$\frac{2\sqrt{7}}{3}$）²=$\frac{1024}{81}$，
或（x-$\frac{23}{9}$）²+（y-$\frac{2\sqrt{7}}{3}$）²=$\frac{1024}{81}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查弦长的求法，解题时要注意根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式的合理运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．