Question

已知函数f（x）=2sin（π-x）cosx+

3

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值及相应x的取值集合；
（3）求f（x）在[-

π

3

，

π

3

]内的单调增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据诱导公式、二倍角公式化简解析式，再由周期公式求出函数的周期；
（2）根据正弦函数的最大值和条件求出此函数的最大值，并求出此时对应的x的集合；
（3）由x的范围求出2x的范围，再根据正弦函数的递增区间，求出此函数的递增区间．

解答： 解：（1）f（x）=2sin（π-x）cosx+

3

=2sinxcosx+

3

=sin2x+

3

，
则函数的周期T=

2π

2

=π，
（2）当sin2x=1时，函数取到最大值是1+

3

，
此时2x=

π

2

+2kπ(k∈Z)，解得x=

π

4

+kπ(k∈Z)，
所以当x∈{x|x=

π

4

+kπ，k∈z}时，f（x）有最大值为1+

3

；
（3）由-

π

3

≤x≤

π

3

得，-

2π

3

≤2x≤

2π

3

，
当-

π

2

≤2x≤

π

2

时，即-

π

4

≤x≤

π

4

，y=sin2x单调递增，
且f(x)=sin2x+

3

也单调递增，
所以f（x）在[-

π

3

，

π

3

]内的单调增区间是[-

π

4

，

π

4

]．

点评：本题考查诱导公式、二倍角公式，以及正弦函数的性质，整体思想，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解题的关键．