Question

已知定义域为D的函数f（x），如果对任意x₁，x₂∈D，存在正数k，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|
成立，那么称函数f（x）是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f（x）=2x；②f（x）=2sin（x+

π

4

）；③f（x）=

x-1

；④f（x）=lg（2x²+1），其中是“倍约束函数”的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,导数的综合应用

分析：分析可知，实质是求函数导数绝对值的最大值，其可以做为正数k．

解答： 解：：①当f（x）=2x时；对任意x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|，故f（x）=2x为倍约束函数；
②当f（x）=2sin（x+

π

4

）时；对任意x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|=|2sin（x₁+

π

4

）-2sin（x₂+

π

4

）|≤2|x₁-x₂|，故f（x）=2sin（x+

π

4

）为倍约束函数；
③当f（x）=

x-1

时；|f（x₁）-f（x₂）|=

1

x1-1 + x2-1

|x₁-x₂|，故不存在正数k，故不是倍约束函数；
④当f（x）=lg（2x²+1）时，|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，故f（x）=lg（2x²+1）为倍约束函数．
故选C．

点评：本题考查了学生对新定义的接受能力及转化能力，属于基础题．