Question

（2013•安庆三模）已知焦点在x轴上的椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

12

=1和双曲线C₂：

x2

m2

-

y2

n2

=1的离心率互为倒数，它们在第一象限交点的坐标为（

4 10

5

，

6 5

5

），设直线l：y=kx+m（其中k，m为整数）．
（1）试求椭圆C₁和双曲线C₂ 的标准方程；
（2）若直线l与椭圆C₁交于不同两点A、B，与双曲线C₂交于不同两点C、D，问是否存在直线l，使得向量

AC

+

BD

=

0

，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点（

4 10

5

，

6 5

5

），代入椭圆方程即可得出a，进而得到椭圆的离心率和双曲线的离心率，再利用双曲线的离心率计算公式和把已知点的坐标代人双曲线的方程即可得出m²及n²；
（2）分别把直线y=kx+m与椭圆、双曲线的方程联立，得到根与系数的关系，再利用已知向量

AC

+

BD

=

0

，即可得出k、m，再利用判别式及已知m为整数即可得出．

解答：解：（1）把点（

4 10

5

，

6 5

5

），代入椭圆

x2

a2

+

y2

12

=1得

( 4 10 5 )2

a2

+

( 6 5 5 )2

12

=1，解得a²=16，a=4．
∴椭圆C₁的方程为：

x2

16

+

y2

12

=1；
∴c²=a²-b²=4，即c=2．
∴椭圆C的离心率为e1=

1

2

，∴双曲线C₂的离心率为e₂=2，
由题意可得

e2= 1+ n2 m2 =2 ( 4 10 5 )2 m2 - ( 6 5 5 )2 n2 =1

解得

m2=4 n2=12

，
∴双曲线C₂为：

x2

4

-

y2

12

=1．
（2）联立

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

消去y化简整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4k²-48=0，
设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），则x1+x2=-

8km

3+4k2

，
则△1=(8km)2-4(3+4k2)(4k2-48)＞0      ①
联立

y=kx+m x2 4 - y2 12 =1

消去y化简整理得：（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0，
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），则x3+y4=

2km

3-k2

，
则△2=(-2km)2+4(3-k2)(m2+12)＞0      ②
因为

AC

+

BD

=

0

，所以（x₄-x₂）+（x₃-x₁）=0，（y₄-y₂）+（y₃-y₁）=0，
由x₁+x₂=x₃+x₄得：-

8km

3+4k2

=

2km

3-k2

．
所以km=0或-

4

3+4k2

=

1

3-k2

．
由上式解得k=0或m=0．
当k=0时，由①和②得-2

3

＜m＜2

3

．因m是整数，
所以m的值为-3，-2，-1，0，1，2，3．
当m=0时，由①和②得-

3

＜k＜

3

．因k是整数，所以k=-1，0，1．
于是满足条件的直线共有9条．

点评：本题综合考查了椭圆、双曲线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题转化为一元二次方程得根与系数的关系、向量相等等基础知识及基本技能，考查了推理能力和计算能力．