Question

7．已知函数f（x）=2^x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）-f（x+2）
（1）求g（x）的解析式及定义域；
（2）若x∈[0，1]，求函数g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）代入化简即可得到g（x）的解析式，再根据复合函数定义域之间的关系即可得g（x）的定义域．
（2）设2^x=t，则t∈[1，2]，g（t）=t²-4t，根据g（t）单调性求出最值，即是g（x）的最值．

解答 解：（1）g（x）=f（2x）-f（x+2）=2^2x-2^x+2，
∵f（x）=2^x的定义域是[0，3]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤2x≤3}\\{0≤x+2≤3}\end{array}\right.$，解得0≤x≤1，
∴g（x）的定义域为[0，1]．
（2）由（1）得g（x）=2^2x-2^x+2，
设2^x=t，则t∈[1，2]，
∴g（t）=t²-4t，
∴g（t）在[1，2]上单调递减，
∴g（t）_max=g（1）=-3，g（t）_min=g（2）=-4．
∴函数g（x）的最大值为-3，最小值为-4．

点评 本题主要考查函数的定义域的求解和值域的求解，根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键．