Question

16．已知$f（{log_2}x）=a{x^2}-2x+1-a$，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=（a-2）•4^x有正实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由解析式令log₂x=t即x=2^t，代入解析式化简求出f（t），将t化为x可得f（x）的解析式；
（2）由（1）化简f（x）=（a-2）•4^x，设2^x=m，当x＞0时，则m＞1，方程f（x）=（a-2）•4^x有正实数根转化为方程2m²-2m+1-a=0有大于1的实数根，解得即可．

解答 解：（1）令log₂x=t即x=2^t，则f（t）=a•（2^t）²-2•2^t+1-a
即f（x）=a•2^2x-2•2^x+1-a，x∈R
（2）由f（x）=（a-2）•4^x得：a•2^2x-2•2^x+1-a=（a-2）•4^x，
化简得，2•2^2x-2•2^x+1-a=0，
设2^x=m，
当x＞0时，则m＞1，
∴2m²-2m+1-a=0，
∵方程f（x）=（a-2）•4^x有正实数根，
∴方程2m²-2m+1-a=0有大于1的实数根，
设g（m）=2m²-2m+1-a，
∴对称轴m=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4-8（1-a）＞0}\\{g（1）=2-2+1-a＜0}\end{array}\right.$，
解得a＞1，
故a的取值范围为（1，+∞）．

点评 本题考查利用换元法求函数的解析式，指对互化、二次函数的性质的应用，属于中档题．