Question

如图,已知三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC与底面ABC成相等的角，∠CAB=90°,AC=AB,D为BC的中点，E点在PB上，PC∥截面EAD.

(1)求证:平面PBC⊥底面ABC.
(2)若AB=PB，求AE与底面ABC所成角的正弦值.

Answer 1

(1)证明:∵PA、PB、PC与底面ABC成等角,
∴顶点P在底面上的射影为底面Rt△CAB的外心.
而Rt△CAB的外心在斜边BC的中点D处,
即PD⊥平面ABC,
而平面PBC,
∴平面PBC⊥底面ABC.
(2)解:∵PC∥截面EAD,平面PBC,
且平面PBC∩平面EAD=DE,
∴PC∥DE,而D为BC中点,
∴E为PB的中点.
过E作EM∥PD,
则EM与BC的交点M为BD的中点,连结AM,
∵PD⊥底面ABC,∴EM⊥底面ABC.
∴∠EAM为AE与底面ABC所成的角.
设AB=AC=PB=a,则,
而PB=PC=a,,
∴PB²+PC²=BC².
∴△CPB为等腰直角三角形.
∴,.
在Rt△AEM中,.
∴AE与底面ABC所成角的正弦值为.

空间直线和平面