Question

【题目】已知函数，，其中.

（1）当时，求函数的值域

（2）当时，设，若给定，对于两个大于1的正数，存在满足：，使恒成立，求实数的取值范围.

（3）当时，设，若的最小值为，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）;(2) ;(3) .

【解析】

（1）当a=0时，g（x）=（2x﹣2）2﹣4，即可求函数g（x）的值域；（2）按m分类讨论，利用不等式得出的范围，再利用f（x）的单调性得出大小关系. （3）分类讨论，利用二次函数的配方法，结合h（x）的最小值为﹣ ，求实数a的值．

解：（1）当时， ，因为，所以，

所以的值域为

（2）由可得在区间上单调递增 　　

①当时，有，

，得，同理，　　

∴ 由f（x）的单调性知： 、

从而有，符合题设.

②当时，，

，

由f（x）的单调性知 ，

∴，与题设不符

③当时，同理可得，

得，与题设不符.

∴综合①、②、③得

（3）因为当时， ，

令， ，则 ，

当时，即，

当时， ，即，

因为，所以， .

若， ，此时，

若，即，此时，

所以实数.