Question

．(本小题满分14分)设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.
（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；
（2）求证：直线恒过定点；
（3）当变化时，试探究直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由.

Answer 1

解：(1)当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，
令，解得，
代入方程得，故得，      ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因为到的中点的距离为，
从而过三点的圆的方程为．
易知此圆与直线相切.             ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）证法一：设切点分别为,,过抛物线上点的切线方程为，代入，整理得    
，又因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．5分
从而过抛物线上点的切线方程为即
又切线过点，所以得    ①  即
同理可得过点的切线为，
又切线过点，所以得    ②  即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即点，均满足即，故直线的方程为                                 ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
证法二：设过的抛物线的切线方程为，代入，消去，得    
即：．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
从而，此时，
所以切点的坐标分别为，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
因为，，
，
所以的中点坐标为
故直线的方程为，即.．．．．．．．．．．．．．．7分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
证法三：由已知得，求导得，切点分别为,，故过点的切线斜率为，从而切线方程为即
又切线过点，所以得    ①  即
同理可得过点的切线为，
又切线过点，所以得    ②  
即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即点，均满足即，故直线的方程为                    ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（3）解法一：由（2）中①②两式知是方程的两实根，故有

（*）
将，，代入上（*）式得
∴
，    ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
①当时，，直线上任意一点均有，为直角三角形；                                                ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
②当时，，，不可能为直角三角形；
．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
③当时，，.
因为，，
所以
若，则，整理得，
又因为，所以，
因为方程有解的充要条件是.
所以当时，有或，为直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分
综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形.
．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
解法二：由（2）知，且是方程的两实根，即，从而，
所以
当时，即时，直线上任意一点均有，为直角三角形；                                                ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
当时，即时，与不垂直。
因为，，
所以
若，则，整理得，
又因为，所以，
因为方程有解的充要条件是.
所以当时，有或，为直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分
综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形.
．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

略