Question

8．已知函数f（x）=sinx?cosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）化简函数f（x），并用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先化简函数f（x），然后利用“五点法”进行作图．
（Ⅱ）根据三角函数的最值性质进行求解．

解答 解：（I）f（x）=sinx?cosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}sin2x$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令X=2x-$\frac{π}{3}$，则x=$\frac{1}{2}$（X-$\frac{π}{3}$）．填表：

x	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	$\frac{7π}{6}$
X	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	0	1	0	-1	0

…（8分）
（Ⅱ）因为x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
所以2x∈[0，π]，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]…（10分）
所以当x=0时，即2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$，y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）取得最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当x=$\frac{5π}{12}$时，即2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）取得最大值1…（12分）

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的辅助角公式进行化简以及利用五点法进行作图是解决本题的关键．