Question

14．已知：x＞y＞0，且xy=1，求证：$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x-y}$≥2$\sqrt{2}$，并且求符号成立的条件．

Answer 1

分析 利用x²+y²=（x-y）²+2xy化简可知$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x-y}$=（x-y）+$\frac{2}{x-y}$，通过基本不等式即得结论，利用当且仅当x-y=$\frac{2}{x-y}$即x-y=$\sqrt{2}$时取等号，解关于y的方程$\frac{1}{y}$-y=$\sqrt{2}$，计算即得结论．

解答 证明：依题意，$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x-y}$=$\frac{（x-y）^{2}+2xy}{x-y}$
=$\frac{（x-y）^{2}+2}{x-y}$
=（x-y）+$\frac{2}{x-y}$
≥2$\sqrt{（x-y）•\frac{2}{x-y}}$
=2$\sqrt{2}$，
当且仅当x-y=$\frac{2}{x-y}$即x-y=$\sqrt{2}$时取等号，
又∵x=$\frac{1}{y}$，x＞y＞0，
∴$\frac{1}{y}$-y=$\sqrt{2}$，即y²+$\sqrt{2}y$-1=0，
解得y=$\frac{-\sqrt{2}±\sqrt{2+4}}{2}$=$\frac{-\sqrt{2}±\sqrt{6}}{2}$，
∴y=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$或y=-$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$（舍），
∴当x=$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$时取等号．

点评 本题考查不等式的证明，涉及基本不等式、一元二次方程等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．