Question

2．数列{a_n}中，前n项和S_n=n²+2n．
（1）求数列的通项公式a_n；
（2）设T_n=2a₁+2²a₂+…+2ⁿa_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出．
（2）2ⁿa_n=（2n+1）•2ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n．
∴当n=1时，a₁=3；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．
当n=1时上式也成立，
∴a_n=2n+1．
（2）2ⁿa_n=（2n+1）•2ⁿ．
∴T_n=2a₁+2²a₂+…+2ⁿa_n=3×2+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ．
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=6+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=2+2²+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n+1}-1）}{2-1}$-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=（1-2n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．