Question

设抛物线y²=4x的焦点为F，过点M（-1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使

AF

•

BF

=0，则直线AB的斜率k=（　　）

• A、

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：由题意可得直线AB的方程 y-0=k （x+1），k＞0，代入抛物线y²=4x化简求得x₁+x₂ 和x₁•x₂，进而得到y₁+y₂和y₁•y₂，由

AF

•

BF

=0，解方程求得k的值．

解答：解：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），直线AB的方程 y-0=k （x+1），k＞0．
代入抛物线y²=4x化简可得 k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=

-(2k2- 4)

k2

，x₁•x₂=1．
∴y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=

-(2k2- 4)

k2

×k+2k=

k

4

，
y₁•y₂=k²（x₁+x₂+x₁•x₂+1）=4．
又

AF

•

BF

=0=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂=8-

4

k2

，
∴k=

2

2

，
故选B．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量的数量积公式的应用，得到 8-

4

k2

=0，是解题的难点和关键．