【题目】已知函数,
,其中
.
(1)设两曲线,
有公共点,且在该点处的切线相同,用
表示
,并求
的最大值;
(2)设,证明:若
≥1,则对任意
,
,
,有
【答案】(1),最大值为
(2)见解析
【解析】分析:(1)设f(x)与g(x)的图象交于点P(x0,y0)(x0>0),则有f(x0)=g(x0),求出导数,由斜率相等,求得切点的横坐标,可得b的解析式,求出导数,单调区间,可得最大值;
(2)不妨设x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,原不等式变形得h(x2)﹣14x2>h(x1)﹣14x1,构造函数T(x)=h(x)﹣14x,求出导数,判断单调性,即可得到结论.同理可证,当x1>x2时,命题也成立.
详解:(1)设的图象交于点
,则有
,
即 ①
又由题意知,即
②
由②解得
将代入(1)整理得
令,则
当时,
单调递增,当
时
单调递减,
所以,即
,
的最大值为
(2)证明:不妨设,
变形得
令,
,
,
所以 在
上单调递增,
,
即成立
同理可证,当时,命题也成立
综上, 对任意,
,
,不等式
成立.
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【题目】空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法,AQI指数与空气质量对应如表所示:
AQI | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | 300以上 |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
如图是某城市2018年12月全月的AQI指数变化统计图:
根据统计图判断,下列结论正确的是( )
A. 整体上看,这个月的空气质量越来越差
B. 整体上看,前半月的空气质量好于后半个月的空气质量
C. 从AQI数据看,前半月的方差大于后半月的方差
D. 从AQI数据看,前半月的平均值小于后半月的平均值
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【题目】已知动点到定点
的距离比
到定直线
的距离小1.
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过点任意作互相垂直的两条直线
,分别交曲线
于点
和
.设线段
,
的中点分别为
,求证:直线
恒过一个定点;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求面积的最小值.
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【题目】已知直线的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
,直线
与圆
交于
,
两点.
(1)求圆的直角坐标方程及弦
的长;
(2)动点在圆
上(不与
,
重合),试求
的面积的最大值.
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【题目】已知集合,其中
。
表示集合A中任意两个不同元素的和的不同值的个数。
(1)若,分别求
和
的值;
(2)若集合,求
的值,并说明理由;
(3)集合 中有2019个元素,求
的最小值,并说明理由。
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【题目】已知A,B两地相距24km.甲车、乙车先后从A地出发匀速驶向B地.甲车从A地到B地需行驶25min;乙车从A地到B地需行驶20min.乙车比甲车晚出发2min.
(1)分别写出甲、乙两车所行路程关于甲车行驶时间的函数关系式;
(2)甲、乙两车何时在途中相遇?相遇时距A地多远?
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【题目】某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度,随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分第一~五组区间分别为
,
,
,
,
,
).
(1)求选取的市民年龄在内的人数;
(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,再从中选取2人在座谈会中作重点发言,求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率.
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【题目】天气预报说,在今后的三天中,每天下雨的概率都为.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率:用
表示下雨,从下列随机数表的第
行第
列的
开始读取,直到读取了
组数据,
18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10
55 23 64 05 05 26 62 38 97 75 34 16 07 44 99 83 11 46 32 24
据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )
A. B.
C.
D.
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