Question

9．已知函数f（x）=（x-k）e^x+k，k∈Z，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）当k=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）+5＞0恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）当k=0时，f（x）=x•e^x，得f′（x）=e^x+xe^x=e^x（x+1），讨论导数的符号，确定单调区间．
（2）不等式f（x）+5＞0恒成立?（x-k）e^x+k+5＞0在x∈（0，+∞）时恒成立，令F（x）=（x-k）e^x+k+5，F′（x）=e^x（x-k+1）（x∈R），可得f（x）在（-∞，k-1）上是减函数，在（k-1，+∞）上是增函数，分两种情况讨论：①k-1≤0，②k-1＞0．

解答 解：（1）当k=0时，f（x）=x•e^x，
∴f′（x）=e^x+xe^x=e^x（x+1），
∴当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0；
当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，+∞）上是增函数，
（2）不等式f（x）+5＞0恒成立?（x-k）e^x+k+5＞0在x∈（0，+∞）时恒成立，
令F（x）=（x-k）e^x+k+5，F′（x）=e^x（x-k+1），（x∈R）
当x∈（-∞，k-1）时，f′（x）＜0；
当x∈（k-1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，k-1）上是减函数，在（k-1，+∞）上是增函数，
①k-1≤0时，即k≤1时，当x∈（0，+∞）时，F（x）＞F（0）≥0即可
而F（0）=5＞0恒成立，∴k≤1符合题意．
②k-1＞0时，即k＞1时，当x∈（0，+∞）时，F（x）_min=F（k-1）=-e^k-1+5+k＞0即可
令h（k）=-e^k-1+5+k，h′（k）=1-e^k-1＜0恒成立，即h（k）=-e^k-1+5+k单调递减
又∵h（2）=-e+7＞0，h（3）=-e²+8＞0，h（4）=-e³+3＜0，
∴1＜k≤3
综上，k的最大值为3．

点评 本题考查了导数的综合应用，考查了函数与方程思想、分类讨论思想，属于中档题．