在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c．已知向量$\overrightarrow m=({2cos\frac{A}{2}.sin\frac{A}{2}})$.$\overrightarrow n=({cos\frac{A}{2}.-2sin\frac{A}{2}})$.$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-1$．(1)求cosA的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量$\overrightarrow m=（{2cos\frac{A}{2}，sin\frac{A}{2}}）$，$\overrightarrow n=（{cos\frac{A}{2}，-2sin\frac{A}{2}}）$，$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-1$．
（1）求cosA的值；
（2）若$a=2\sqrt{3}$，求△ABC周长的最大值．

分析（1）利用向量的数量积以及二倍角公式化简求解即可．
（2）利用已知条件表示三角形的周长，通过两角和的三角函数化简求解即可．

解答解：（1）向量$\overrightarrow m=（{2cos\frac{A}{2}，sin\frac{A}{2}}）$，$\overrightarrow n=（{cos\frac{A}{2}，-2sin\frac{A}{2}}）$，由$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-1$，可得2cos²$\frac{A}{2}$-2sin²$\frac{A}{2}$，即$cosA=-\frac{1}{2}$------------（5分）
（2）因为$cosA=-\frac{1}{2}$且A∈（0，π），所以$A=\frac{2π}{3}$，所以$C=\frac{π}{3}-B$
△ABC周长$a+b+c=2\sqrt{3}+b+c=2\sqrt{3}+4sinB+4sinC=4sin（B+\frac{π}{3}）+2\sqrt{3}$
因为$B∈（0，\frac{π}{3}）$，所以$B=\frac{π}{6}$时，△ABC周长有最大值，最大值为$4+2\sqrt{3}$---------（12分）

点评本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数的化简求值，考查计算能力．

练习册系列答案

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（Ⅰ）若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow 0$，是否存在实数λ，使得代数式x₁x₂+λy₁y₂为定值．若存在，求出实数λ和x₁x₂+λy₁y₂的值；若不存在，说明理由．
（Ⅱ）若$若\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，求三角形OAB面积的最大值；
（Ⅲ）满足（Ⅱ），且在三角形OAB面积取得最大值的前提下，若线段PA，PB与椭圆长轴和短轴交于点E，F（E，F不是椭圆的顶点）．判断四边形ABFE的面积是否为定值．若是，求出定值；若不是，说明理由．

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