Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow m=（a+c，a-b）$与向量$\overrightarrow n=（b，a-c）$互相平行，且$c=\sqrt{3}$．
（1）求角C；
（2）求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知，利用向量平行的性质及余弦定理可求ab=2abcosC，从而可求cosC，进而可得C的值．
（2）由$C=\frac{π}{3}$，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得a+b=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），由$0＜A＜\frac{2π}{3}$，可求A+$\frac{π}{6}$的范围，利用正弦函数的图象和性质可求a+b的取值范围．

解答 解：（1）∵由题意知：（a+c）（a-c）+b（b-a）=0，
∴由余弦定理可得：a²+b²-c²=ab=2abcosC；
∴可得：$cosC=\frac{1}{2}，C=\frac{π}{3}$．
（2）∵$C=\frac{π}{3}$，
∴$A+B=\frac{2π}{3}$，$a+b=2sinA+2sinB=2sinA+2sin（{\frac{2π}{3}-A}）=2sinA+2sin\frac{2π}{3}cosA-2cos\frac{2π}{3}sinA$
=$2（\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA）=2\sqrt{3}（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA}）=2\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{6}}）$，
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}⇒\frac{1}{2}＜sin（{A+\frac{π}{6}}）≤1$．
∴a+b的取值范围是$（\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$．

点评 本题主要考查了向量平行的性质及余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．