Question

13．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，直线度PC⊥平面ABC，E、F分别是PA、PC的中点．
（Ⅰ）设平面BEF与平面ABC的交线为l，求直线l与平面PBC所成角的余弦值；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为点D，且满足$\overrightarrow{DQ}=λ\overrightarrow{CP}$，$∠ABC=∠CBP=\frac{π}{3}$，当二面角Q-BC-P的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，求λ的值．

Answer 1

分析 （I）直线l∥平面PAC．连接EF，利用三角形的中位线定理可得，EF∥AC；利用线面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC．由线面平行的性质定理可得EF∥l．再利用l∥EF∥AC，得直线l与平面PBC所成角α为直角，
（Ⅱ）以点C为原点，向量$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CP}$所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），D（$\sqrt{3}$，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），$Q（\sqrt{3}，1，\sqrt{3}λ）$，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．求出λ

解答 解：（Ⅰ）过B作AC的平行线BD，交线l即为直线BD，且l∥AC
∵PC⊥平面ABC，∴PC⊥BC，
又∵AC⊥BC，∴BC⊥平面PBC，
∵E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，
又∵EF?平面ABC，AC?平面ABC，
∴EF∥面ABC，
又∵EF?平面BEF，平面BEF∩平面ABC=l，
∴直线EF∥直线l，∴l∥EF∥AC，且AC⊥面PBC，
∴直线l与平面PBC所成角α为直角，cosα=0．
（Ⅱ）设CB=1，则$CA=\sqrt{3}=CP$，如图作DQ∥CP，且DQ=λPC．
连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD．
以点C为原点，向量$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CP}$所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），D（$\sqrt{3}$，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），$Q（\sqrt{3}，1，\sqrt{3}λ）$，
易得面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（1，0，0）$，
设面QBC的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}=（x，y，z）$，
$\overrightarrow{CB}=（0，1，0）$，$\overrightarrow{CQ}=（\sqrt{3}，1，\sqrt{3}λ）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CB}=y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CQ}=\sqrt{3}x+y+\sqrt{3}λz=0}\end{array}\right.$，
可求出面QBC的一个法向量$\overrightarrow{n_2}=（-λ，0，1）$，
|cos$＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$|=$\frac{λ}{1×\sqrt{{λ}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得$λ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、二面角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力．属于中档题．