Question

4．设e表示自然对数的底数，函数f（x）=$\frac{{{{（{e^2}-a）}^2}}}{4}+{（x-a）^2}$（a∈R），若关于x的不等式f（x）≤$\frac{1}{5}$有解，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [e²-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，e²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$]
• B． [e²-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，e²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）
• C． （e²-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，e²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$]
• D． （e²-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，e²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）

Answer 1

分析 由关于x的不等式f（x）≤$\frac{1}{5}$有解，可得 $\frac{1}{5}$≥$\frac{{{（e}^{2}-a）}^{2}}{4}$有解，可得$\sqrt{\frac{1}{5}}$≥$\frac{{|e}^{2}-a|}{2}$，解绝对值不等式，求得a的范围．

解答 解：∵函数$f（x）=\frac{{{{（{e^2}-a）}^2}}}{4}+{（x-a）^2}$（a∈R），关于x的不等式$f（x）≤\frac{1}{5}$有解，
即 （x-a）²≤$\frac{1}{5}$-$\frac{{{（e}^{2}-a）}^{2}}{4}$有解，∴$\frac{1}{5}$-$\frac{{{（e}^{2}-a）}^{2}}{4}$≥0 有解，即 $\frac{1}{5}$≥$\frac{{{（e}^{2}-a）}^{2}}{4}$有解，∴$\sqrt{\frac{1}{5}}$≥$\frac{{|e}^{2}-a|}{2}$，
∴|e²-a|≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$≤a-e²≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，e²-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$≤a≤e²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故选：A．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，属于中档题．