Question

19．已知数列{a_n}满足a_n=$\frac{2n+4}{3}$，若从{a_n}中提取一个公比为q的等比数列{a${\;}_{{k}_{n}}$}，其中k₁=1且k₁＜k₂＜…＜k_n，k_n∈N*，则满足条件的最小q的值为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由数列{a_n}满足a_n=$\frac{2n+4}{3}$，推导出${a}_{1}=2，{a}_{2}=\frac{8}{3}，{a}_{3}=\frac{10}{3}$，a₄=4，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，a₁₀=8，…，对公比q从小依次取q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$，q=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$，即可得出结论．

解答 解：∵数列{a_n}满足a_n=$\frac{2n+4}{3}$，
∴${a}_{1}=2，{a}_{2}=\frac{8}{3}$，${a}_{3}=\frac{10}{3}$，a₄=4，${a}_{5}=\frac{14}{3}$，
${a}_{6}=\frac{16}{3}$，${a}_{7}=6，{a}_{8}=\frac{20}{3}$，${a}_{9}=\frac{22}{3}$，a₁₀=8，…
若取q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{3}$，则${a}_{{k}_{3}}$=2×$（\frac{4}{3}）^{2}$=$\frac{32}{9}$≠a₃，不在数列{a_n}中；
若取q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=$\frac{5}{3}$，则${a}_{{k}_{3}}=2×（\frac{5}{3}）^{2}$=$\frac{50}{9}$，不在数列{a_n}中；
若取q=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=2，则${a}_{{k}_{3}}$=2×2²=2×2²=8=a₁₀，在数列{a_n}中．
综上，满足条件的最小的q的值为2．
故选：D．

点评 本查等差数列与等比数列的通项公式，考查分类讨论法、推理能力与计算能力，是中档题．