Question

8．已知函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx在x=θ时取得最大值，则cos（2θ+$\frac{π}{4}$）=（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）═2sin（x+$\frac{π}{3}$）．由题意可得θ+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求出θ，再代入cos（2θ+$\frac{π}{4}$）求解即可．

解答 解：函数函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
故当θ+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即θ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z时，函数f（x）取得最大值为2．
则cos（2θ+$\frac{π}{4}$）=cos（4kπ+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）=cos（$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，
故选：C．

点评 本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于中档题．