Question

（2012•武汉模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60°．
（Ⅰ）若cos（B+C）=-

11

14

，求cosC的值；
（Ⅱ）若a=5，

AC

•

CB

=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据B与C为三角形的内角，可得出B+C的范围，由cos（B+C）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（B+C）的值，由B的度数求出sinB和cosB的值，然后将cosC中的角C变形为（B+C）-B，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出cosC的值；
（Ⅱ）利用平面向量的数量积运算化简

AC

•

CB

=5，利用诱导公式变形后，将a的值代入，求出bcosC=-1，记作①，再利用正弦定理列出关系式，将a的值及B的度数代入，并由B的度数，根据三角形内角和定理得到A+C的度数，用C表示出A，代入关系式中，整理后得到一个关系式，记作②，将①代入②，得到bsinC=6

3

，再由a的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由cos（B+C）=-

11

14

，得
sin（B+C）=

1-cos2(B+C)

=

1-(- 11 14 )2

=

5 3

14

，
∴cosC=cos[（B+C）-B]=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB
=-

11

14

×

1

2

+

5 3

14

×

3

2

=

1

7

；…（6分）
（Ⅱ）由

AC

•

CB

=5，得|

AC

|•|

CB

|cos（180°-C）=5，即abcosC=-5，
又a=5，∴bcosC=-1，①
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得

a

sin(120°-C)

=

b

sin60°

，
∴

5

3 2 cosC+ 1 2 sinC

=

b

3 2

，
即

3

bcosC+bsinC=5

3

，②
将①代入②，得bsinC=6

3

，
则△ABC的面积为S=

1

2

absinC=

1

2

×5×6

3

=15

3

．…（12分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的余弦函数公式，平面向量的数量积运算，正弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．