Question

16．设x，y，z是大于0的实数，则$\frac{xy+yz+zx}{6{x}^{2}+6{y}^{2}+6{z}^{2}}$的最大值是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 首先利用均值不等式，得到x²+y²+z²≥xy+xz+yz，进而根据不等式的基本性质，得到答案．

解答 解：∵（x-y）²+（x-z）²+（y-z）²≥0，
∴2（x²+y²+z²）≥2（xy+xz+yz），
∴x²+y²+z²≥xy+xz+yz，
∴$\frac{xy+yz+zx}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$≤1，
∴$\frac{xy+yz+zx}{6{x}^{2}+6{y}^{2}+6{z}^{2}}$≤$\frac{1}{6}$，
故$\frac{xy+yz+zx}{6{x}^{2}+6{y}^{2}+6{z}^{2}}$的最大值是$\frac{1}{6}$
故答案为：$\frac{1}{6}$

点评 本题主要考查了基本不等式的应用．基本不等式是解决多项式和函数的最值问题的常用方法，平时应熟练掌握．