Question

如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，侧棱长是

3

，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-A的大小；
（3）求直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）设AB₁与A₁B相交于点P，连接PD，则PD∥B₁C．由此能证明B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）法一：由已知得BD⊥AC，BD⊥A₁D，∠A₁DA为二面角A₁-BD-A的平面角，由此能求出二面角A₁-BD-A的大小．
（Ⅱ）法二：建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-BD-A的大小．
（Ⅲ）平面A₁BD的法向量

n

=（-

3

，0，1）

AB1

=（-1，

3

，

3

），由此利用向量法能求出直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：设AB₁与A₁B相交于点P，连接PD，
则P为AB₁中点，∵D为AC中点，∴PD∥B₁C．
又∵PD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中D是AC的中点，
知BD⊥AC，
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁D，
故∠A₁DA为二面角A₁-BD-A的平面角，
又AD⊥A₁A，A₁A=

3

，AD=1，
∴∠A₁DA=60°，即二面角A₁-BD-A的大小为60°．…（8分）
（Ⅱ）解法二：如图建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），A₁（1，0，

3

），
B（0，

3

，0），B₁（0，

3

，

3

），
∴

A1B

=（-1，

3

，-

3

），

A1D

=（-1，0，-

3

），
设平面A₁BD的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n

•

A1B

=-x+

3

y-

3

z=0，

n

•

A1D

=-x-

3

z=0
则有

x=- 3 z y=0

，令z=1，得

n

=（-

3

，0，1）
由题意，知

AA1

=（0，0，

3

）是平面ABD的一个法向量．
设面角A₁-BD-A的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n

，

AA1

＞|=

1

2

，∴θ=

π

3

，
∴二面角A₁-BD-A的大小是

π

3

．…（8分）
（Ⅲ）解：∵平面A₁BD的法向量

n

=（-

3

，0，1）

AB1

=（-1，

3

，

3

），
设直线AB₁与平面A₁BD所成的角为α，
则sinα=|cos＜

AB1

，

n

＞|=|

3 + 3

4 • 7

|=

21

7

，
∴直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值为

21

7

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．