Question

已知a、b、c、d都是正数，若（ab+cd）（ac+bd）≥kabcd恒成立，则k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式的解法及应用

分析：依题意，由（ab+cd）（ac+bd）≥kabcd⇒k≤

a

d

+

b

c

+

c

b

+

d

a

，利用基本不等式易求（

a

d

+

b

c

+

c

b

+

d

a

）_min=4，从而可得k的取值范围．

解答： 解：∵a、b、c、d都是正数，（ab+cd）（ac+bd）≥kabcd恒成立，
∴k≤

(ab+cd)(ac+bd)

abcd

=

a2bc+b2ad+c2ad+d2bc

abcd

=

a

d

+

b

c

+

c

b

+

d

a

，
∵

a

d

+

b

c

+

c

b

+

d

a

=（

a

d

+

d

a

）+（

b

c

+

c

b

）≥2+2=4（当且仅当a=d，c=b时取“=”），
∴（

a

d

+

b

c

+

c

b

+

d

a

）_min=4，
∴k≤4，
∴k的取值范围为（-∞，4]，
故答案为：（-∞，4]．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用，由（ab+cd）（ac+bd）≥kabcd⇒k≤

a

d

+

b

c

+

c

b

+

d

a

是关键，考查等价转化思想与运算推理能力，属于中档题．