Question

1．一艘船的燃料费与船速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元，已知船航行时其他费用为320元/时，在20km航程中，船速不得超过akm/h（a为常数且a＞0），船速多少时船行驶总费用最少？

Answer 1

分析 设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，由条件求得k，设航速为vkm/h时，总费用为y元，求得$y=16v+\frac{6400}{v}（0＜v≤a）$，分类讨论即可得到最小值．

解答 解：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，则80=k×10²，
解得k=0.8
设船速为vkm/h时，总费用为y元，则：
y=（0.8v²+320）×$\frac{20}{v}$=16v+$\frac{6400}{v}$．
即$y=16v+\frac{6400}{v}（0＜v≤a）$
（1）当a≤20时，函数在（0，a]上单调递减，航速akm/h时船行驶总费用最少；
（2）当a＞20时，函数在（0，20]上单调递减，[20，+∞）上单调递增，航速20km/h时船行驶总费用最少．

点评 本题考查函数的最值的应用题，考查运用函数的单调性求最值，运用基本不等式求最值，考查运算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．