Question

已知函数f（x）=

2x2+sin2013x+4

x2+2

（x∈R）的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：把已知函数化简可得f（x）=

2x2+sin2013x+4

x2+2

=2+

sin2013x

x2+2

，构造函数g（x）=

sin2013x

x2+2

，利用定义可知g（x）为奇函数，其图象关于原点对称，即最值和为0，而g（x）取最大值（最小值）时f（x）取最小值（最大值），整体代入求值

解答： 解：f（x）=

2x2+sin2013x+4

x2+2

=2+

sin2013x

x2+2

令g（x）=

sin2013x

x2+2

，则g（-x）=-g（x）
∴函数g（x）为奇函数，图象关于原点对称，最大值与最小值也关于原点对称，即函数g（x）的最值的和为0
∴M+m=2+g（x）_min+2+g（x）_max=4
故答案为：4

点评：本题考查了利用函数的性质：奇偶像解决函数的最值问题，解题时，不是把最大及最小值分别求出，而是利用整体思想求解，要灵活运用该方法．