Question

已知函数f（x）=

x2+a

x

（a＞0）在（2，+∞）上递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：运用函数单调性的定义，因为函数在（2，+∞）上递增，设2＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）＜0在（2，+∞）恒成立，从而确定出实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=

x2+a

x

（a＞0）在（2，+∞）上递增，
∴设2＜x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

x 2 1 +a

x1

-

x 2 2 +a

x2

=（x₁-x₂）+a

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）

x1x2-a

x1x2

＜0在（2，+∞）恒成立，
∵2＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
（x₁-x₂）

x1x2-a

x1x2

＜0在（2，+∞）恒成立转化为，当2＜x₁＜x₂时，x₁x₂＞a恒成立，
∵x₁x₂＞4，
∴0＜a≤4，
∴实数a的取值范围为0＜a≤4．

点评：本题考查了函数单调性定义的应用，一般运用函数的单调性判断或证明函数的单调性，而本题是单调性定义的逆向应用，通过函数的单调性的定义，将问题转化为函数的恒成立问题．属于基础题．