Question

11．已知函数f（x）=x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x（x＞0）．
（1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）当x∈[$\frac{1}{4}$，2]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）运用导数求得大于0，即可得证；
（2）由（1）可得f（x）在[$\frac{1}{4}$，2]上递增，计算即可得到最值．

解答 解：（1）证明：f（x）=x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x（x＞0）的导数为
f′（x）=1-$\frac{1}{xln\frac{1}{2}}$＞0，
即有f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）由（1）可得f（x）在[$\frac{1}{4}$，2]上递增，
当x=$\frac{1}{4}$时，f（x）取得最小值，且为$\frac{1}{4}$-$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$-2=-$\frac{7}{4}$；
x=2时，f（x）取得最大值，且为2-$lo{g}_{\frac{1}{2}}2$=2+1=3．

点评 本题考查喊话说的单调性的证明和运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．