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已知函数f(x)=x2-alnx,g(x)=x-a
x

(1)若a∈R,求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)在(1,2)上是增函数,g(x)在(0,1)上为减函数,求f(x),g(x)的表达式;
(3)对于(2)中的f(x),g(x),求证:当x>0时,方程f(x)=g(x)+2有唯-解.
分析:(1)先求定义域,然后求函数的导数f'(x),利用极值的定义确定函数f(x)的极值.
(2)利用函数f(x)在(1,2)上是增函数,g(x)在(0,1)上为减函数,确定参数a的数值,从而确定函数f(x),g(x)的表达式.
(3)由f(x)=g(x)+2得f(x)-g(x)-2=0,构造函数h(x)=f(x)-g(x)-2,利用导数研究函数h(x)的极值和最值.
解答:解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),函数的导数为f′(x)=2x-
a
x

①若a≤0,f'(x)>0横成立,此时函数f(x)单调递增,无极值.
②若a>0,则由f′(x)=2x-
a
x
=
2x2-a
x
>0
,解得x>
2a
2
,此时函数f(x)单调递增.
f′(x)=
2x2-a
x
<0
,解得0<x<
2a
2
,此时函数f(x)单调递减.
所以当x=
2a
2
时,函数f(x)取得极小值f(
2a
2
)=
1
2
a(1-ln?a+ln?2)

综上,若a≤0,函数f(x)无极值.
若a>0,函数f(x)取得极小值f(
2a
2
)=
1
2
a(1-ln?a+ln?2)

(2)若函数f(x)在(1,2)上是增函数,则f′(x)=
2x2-a
x
≥0
恒成立,
即a≤2x2在(1,2)上恒成立,所以a≤2.
g′(x)=1-
a
2
x
,要使g(x)在(0,1)上为减函数,
g′(x)=1-
a
2
x
≤0
在(0,1)上恒成立,
a≥2
x
在(0,1)上恒成立,所以a≥2.
综上a=2.
(3)由f(x)=g(x)+2得f(x)-g(x)-2=0,设h(x)=f(x)-g(x)-2=x2-2lnx-x+2
x
-2

h′(x)=2x-
2
x
-1+
1
x
,由h′(x)=2x-
2
x
-1+
1
x
>0
且x>0,得(
x
-1)(2x
x
+2x+
x
+2)>0

解得x>1,此时函数h(x)单调递增.
由h'(x)<0,解的0<x<1.此时函数h(x)单调递减.
所以函数h(x)在x=1处取得极小值同时也是最小值h(0)=0,
当x>0时,且x≠1时,h(x)>0,所以h(x)=0在(0,+∞)上只有一个解,即当x>0时,方程f(x)=g(x)+2有唯-解.
点评:本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值和最值,综合性较强,运算量较大.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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