Question

20．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{5π}{4}$），直线1的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且点A在直线1上
（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；
（2）若曲线C的极坐标方程为ρ+sinθ=0，试判断直线l与曲线C的位置关系．

Answer 1

分析 （1）点A的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{5π}{4}$），直线1的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且点A在直线1上，代入可得a．把直线1的极坐标方程展开，代入$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐标方程．
（2）曲线C的极坐标方程为ρ+sinθ=0，可得ρ²+ρsinθ=0，可得直角坐标方程：x²+y²+y=0，配方为：${x}^{2}+（y+\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，可得圆心C$（0，-\frac{1}{2}）$，半径r=$\frac{1}{2}$．求出圆心C到直线l的距离d，把d与r比较即可得出．

解答 解：（1）点A的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{5π}{4}$），直线1的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且点A在直线1上，
∴$\sqrt{2}cos（\frac{5π}{4}-\frac{π}{4}）$=-$\sqrt{2}$=a，
∴直线1的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$，
展开为：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）$=-$\sqrt{2}$，可得直角坐标方程：x+y+2=0．
（2）曲线C的极坐标方程为ρ+sinθ=0，可得ρ²+ρsinθ=0，
可得直角坐标方程：x²+y²+y=0，
配方为：${x}^{2}+（y+\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，可得圆心C$（0，-\frac{1}{2}）$，半径r=$\frac{1}{2}$．
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{|0-\frac{1}{2}+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$$＞\frac{1}{2}$=r．
∴断直线l与曲线C的位置是相离关系．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法、直线与圆的位置关系的判定方法、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．