Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，直线l₁：y=kx（k≠0）与椭圆相交于点A，B，过点B且斜率为$\frac{1}{4}$k的直线l₂与椭圆C的另一个交点为D，AD⊥AB．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l₂与x轴，y轴分别相交于点M，N，求△OMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设点A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），代入椭圆方程可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1由AD⊥AB，可得k_AD=-$\frac{1}{k}$，利用斜率计算公式可得：$-\frac{1}{k}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，$\frac{1}{4}k$=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$，相乘可得：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，又a²-b²=3，联立解出即可得出．
（2）$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=k，可得直线l₂的方程为：y+y₁=$\frac{{y}_{1}}{4{x}_{1}}$（x+x₁），分别令x=0，y=0，可得S_△OMN=$\frac{1}{2}|OM||ON|$=$\frac{9}{8}$|x₁y₁|，由1=$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+${y}_{1}^{2}$利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）设点A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1
∵AD⊥AB，∴k_AD=-$\frac{1}{k}$，
因此$-\frac{1}{k}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，$\frac{1}{4}k$=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$，
∴$-\frac{1}{4}$=$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=$\frac{-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}）}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$，化为$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，
又a²-b²=3，
解得a²=4，b²=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）∵$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=k，
∴直线l₂的方程为：y+y₁=$\frac{{y}_{1}}{4{x}_{1}}$（x+x₁），
令y=0得x_M=3x₁，令x=0，得y_N=-$\frac{3}{4}{y}_{1}$，
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}|OM||ON|$=$\frac{9}{8}$|x₁y₁|，
∵1=$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+${y}_{1}^{2}$≥|x₁y₁|，且当|x₁|=2|y₁|时，取等号，
∴△OMN面积的最大值是$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、直线方程、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．