Question

18．如图，斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为1的正方形，侧面AA₁B₁B⊥底面ABCD，AA₁=2，∠B₁BA=60°．
（Ⅰ）求证：平面AB₁C⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）求四面体AB₁C₁C的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件求解三角形得到B₁A⊥AB，结合侧面AA₁B₁B⊥底面ABCD，可得BD⊥平面AB₁C，则有平面AB₁C⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）由C₁D∥B₁A，知C₁D∥平面AB₁C，可得${V}_{{C}_{1}-A{B}_{1}C}={V}_{D-A{B}_{1}C}={V}_{{B}_{1}-ACD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$．

解答 （Ⅰ）证明：如图
在BAB₁中，∵AB=1，BB₁=2，∠B₁BA=60°，
∴$A{{B}_{1}}^{2}=A{B}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}-2AB•B{B}_{1}cos60°$=$1+4-2×1×2×\frac{1}{2}=3$，
∴$A{{B}_{1}}^{2}+A{B}^{2}=B{{B}_{1}}^{2}$，
∴B₁A⊥AB，
又∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABCD，
∴B₁A⊥底面ABCD，则B₁A⊥BD，
又∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，则BD⊥平面AB₁C，
∴平面AB₁C⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）解：∵C₁D∥B₁A，AB₁?平面AB₁C，C₁D?平面AB₁C，
∴C₁D∥平面AB₁C，
${V}_{{C}_{1}-A{B}_{1}C}={V}_{D-A{B}_{1}C}={V}_{{B}_{1}-ACD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查了多面体体积的求法，训练了等积法求三棱锥的体积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．