Question

3．如图：三棱锥A-BCD的底面ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC=AB=4，DA⊥平面ABC，E是BD的中点．
（1）求证：AE与BC不垂直；
（2）若此三棱锥的体积为$\frac{32}{3}$，求异面直线AE与DC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）采用反证法，假设AE⊥BC，则BC⊥平面DAB，于是BC⊥AB，得出矛盾；
（2）取BC中点F，连结EF，AF，则∠AEF为异面直线所成的角，根据棱锥的体积和勾股定理，中位线定理求出△AEF的三边长，利用余弦定理计算∠AEF．

解答 解：（1）假设AE⊥BC，
∵DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴DA⊥BC，
又DA?平面DAB，AE?平面DAB，DA∩AE=A，
∴BC⊥平面DAB，∵AB?平面DAB，
∴BC⊥AB，与AC⊥AB矛盾．
∴AE与BC不垂直．
（2）∵DA⊥平面ABC，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=8，
∴三棱锥体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•DA$=$\frac{8}{3}•DA$=$\frac{32}{3}$，∴DA=4．
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+D{A}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{D{A}^{2}+A{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
设BC中点为F，连EF，AF，则EF=$\frac{1}{2}$CD=2$\sqrt{2}$，AF=$\frac{1}{2}BC$=2$\sqrt{2}$，AE=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$．
∴△AEF是正三角形，∴∠AEF=60°．
∵E是DB中点，则EF∥DC，∴∠AEF是AE与DC所成角．
即异面直线AE与DC所成角的大小为60°．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，异面直线所成的角，构造平行线作出空间角的平面角是关键．